Wir haben die Zusammenstellung zu allen komplexen Einbettungen

${\displaystyle \tau \colon R\longrightarrow \mathbb {C} ^{r+2s}}$

und die reelle Gittereinbettung

${\displaystyle \tau ^{\mathbb {R} }\colon R\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {C} ^{s},}$

die durch die Einbettung

${\displaystyle \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {C} ^{s}\longrightarrow \mathbb {C} ^{r+2s},\,(x_{1},\ldots ,x_{r};z_{1},\ldots ,z_{s})\longmapsto (x_{1},\ldots ,x_{r};z_{1},{\overline {z_{1}}},\ldots ,z_{s},{\overline {z_{s}}})}$

miteinander verbunden sind.

Zu einer ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis ${\displaystyle {}b_{1},\ldots ,b_{n}}$ von ${\displaystyle {}Q(R)}$ haben wir einerseits die reelle ${\displaystyle {}n\times n}$-Matrix

${\displaystyle {\left(\tau _{j}^{\mathbb {R} }(b_{i})\right)},}$

die sich aus den reellen Einbettungen und Real- und Imaginärteil der komplexen Einbettungen zusammensetzt, und die komplexe ${\displaystyle {}n\times n}$-Matrix

${\displaystyle {\left(\tau _{j}(b_{i})\right)}.}$

Wenn man in dieser komplexen Matrix je zwei konjugierte Zeilen ${\displaystyle {}w_{j}=\left(\tau _{j}(b_{1}),\,\tau _{j}(b_{2}),\,\ldots ,\,\tau _{j}(b_{n})\right)}$ und ${\displaystyle {}w_{j+1}={\overline {w_{j}}}=\left({\overline {\tau _{j}(b_{1})}},\,{\overline {\tau _{j}(b_{2})}},\,\ldots ,\,{\overline {\tau _{j}(b_{n})}}\right)}$ die darin erste Zeile durch ihre Summe ersetzt und die zweite übernimmt (also ${\displaystyle {}w_{j}+w_{j+1}}$ und ${\displaystyle {}w_{j+1}}$), und dann die neue erste Zeile übernimmt und die zweite Zeile durch das ${\displaystyle {}{\mathrm {i} }}$-fache der ersten Zeile minus das Doppelte der zweiten Zeile ersetzt (also ${\displaystyle {}w_{j}+w_{j+1}}$ und ${\displaystyle {}{\mathrm {i} }(w_{j}+w_{j+1}-2w_{j+1})={\mathrm {i} }(w_{j}-w_{j+1})}$), so erhält man das Doppelte der Realteilzeile und das Doppelte der Imaginärteilzeile. Deshalb gilt

${\displaystyle {}{\left(\det \left(\tau _{j}(b_{i})\right)\right)}=2^{s}{\mathrm {i} }^{s}{\left(\det \left(\tau _{j}^{\mathbb {R} }(b_{i})\right)\right)}\,.}$

Nach Fakt und Fakt ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\sqrt {\vert {\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})}\vert }}&=\vert {\left(\det \left(\tau _{j}(b_{i})\right)\right)}\vert \\&=2^{s}{\left(\det \left(\tau _{j}^{\mathbb {R} }(b_{i})\right)\right)}\\&=2^{s}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}}).\end{aligned}}}$