Wegen

${\displaystyle {}{\mathfrak {g}}\cdot {\mathfrak {f}}\subseteq R\,}$

ist unmittelbar

${\displaystyle {}{\mathfrak {f}}\subseteq {\mathfrak {g}}^{-1}\,.}$

Zum Beweis der anderen Inklusion sei ${\displaystyle {}h\in {\mathfrak {g}}^{-1}}$, also ${\displaystyle {}h\in Q(R)}$ mit

${\displaystyle {}h{\mathfrak {g}}\subseteq R\,.}$

Die Bedingung

${\displaystyle {}{\mathfrak {g}}{\mathfrak {f}}=R\,}$

beinhaltet insbesondere, dass es Elemente ${\displaystyle {}g_{1},\ldots ,g_{n}\in {\mathfrak {g}}}$ und ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathfrak {f}}}$ mit

${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{n}g_{i}f_{i}=1\,}$

gibt. Somit ist

${\displaystyle {}h=h\cdot 1=h\cdot {\left(\sum _{i=1}^{n}g_{i}f_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}(hg_{i})f_{i}\,.}$

Wegen ${\displaystyle {}hg_{i}\in R}$

${\displaystyle {}h}$

${\displaystyle {}f_{i}}$

${\displaystyle {}{\mathfrak {f}}}$