Es sei ${\displaystyle {}b_{1},\ldots ,b_{n}}$ eine Ganzheitsbasis von ${\displaystyle {}R}$. Es ist zu zeigen, dass die ${\displaystyle {}\tau ^{\mathbb {R} }(b_{k})}$, ${\displaystyle {}k=1,\ldots ,n}$, linear unabhängig sind. Über die ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$-lineare Abbildung

${\displaystyle \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{2s}\longrightarrow \mathbb {C} ^{r}\times \mathbb {C} ^{2s},\,{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{r}\\u_{1}\\v_{1}\\\vdots \\u_{s}\\v_{s}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{r}\\u_{1}+{\mathrm {i} }v_{1}\\u_{1}-{\mathrm {i} }v_{1}\\\vdots \\u_{s}+{\mathrm {i} }v_{s}\\u_{s}-{\mathrm {i} }v_{s}\end{pmatrix}},}$

erhält man aus der reellen Gesamteinbettung die komplexe Gesamteinbettung. Wären die Elemente ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$-linear abhängig, so würde das auch für die Bilder unter der komplexen Gesamteinbettung gelten. Doch dies wäre ein Widerspruch zur Tatsache, dass die Diskriminante von ${\displaystyle {}b_{1},\ldots ,b_{n}}$ nicht ${\displaystyle {}0}$ ist, siehe Fakt.