Zeige, dass sich die folgenden Objekte in natürlicher Weise entsprechen.

1. Gruppenhomomorphismen von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{r}}$ nach ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$.
2. ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismen

   ${\displaystyle \mathbb {C} [X_{1},X_{1}^{-1},\ldots ,X_{r},X_{r}^{-1}]\longrightarrow \mathbb {C} [T,T^{-1}]}$

   der Form

   ${\displaystyle X_{i}\longmapsto T^{a_{i}}}$

   mit ${\displaystyle {}a_{j}\in \mathbb {Z} }$.

3. Multiplikative Abbildungen von ${\displaystyle {}\mathbb {C} ^{\times }}$ nach ${\displaystyle {}{\left(\mathbb {C} ^{\times }\right)}^{r}}$ der Form

   ${\displaystyle z\longmapsto \left(z^{a_{1}},\,\ldots ,\,z^{a_{r}}\right)}$

   mit ${\displaystyle {}a_{j}\in \mathbb {Z} }$.

4. Monoidhomomorphismen von ${\displaystyle {}\mathbb {N} ^{r}}$ nach ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$.
5. Multiplikative Abbildungen von ${\displaystyle {}\mathbb {C} ^{\times }}$ nach ${\displaystyle {}\mathbb {C} ^{r}}$ der Form

   ${\displaystyle z\longmapsto \left(z^{a_{1}},\,\ldots ,\,z^{a_{r}}\right)}$

   mit ${\displaystyle {}a_{j}\in \mathbb {Z} }$.

6. Stetige Abbildungen

   ${\displaystyle [0,2\pi ]\longrightarrow {\left(\mathbb {C} ^{\times }\right)}^{r}}$

   der Form

   ${\displaystyle s\longmapsto \left(e^{a_{1}{\mathrm {i} }s},\,\ldots ,\,e^{a_{r}{\mathrm {i} }s}\right)}$

   ${\displaystyle {}a_{j}\in \mathbb {Z} }$.