a) Das Volumen ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{r}^{r+1}\int _{s}^{s+1}x^{2}+y^{4}\,dy\,dx&=\int _{r}^{r+1}{\left(x^{2}y+{\frac {1}{5}}y^{5}\right)}|_{s}^{s+1}\,dx\\&=\int _{r}^{r+1}{\left(x^{2}(s+1-s)+{\frac {1}{5}}{\left((s+1)^{5}-s^{5}\right)}\right)}\,dx\\&=\int _{r}^{r+1}{\left(x^{2}+{\frac {1}{5}}{\left(5s^{4}+10s^{3}+10s^{2}+5s+1\right)}\right)}\,dx\\&={\left({\frac {1}{3}}x^{3}+{\left(s^{4}+2s^{3}+2s^{2}+s+{\frac {1}{5}}\right)}x\right)}|_{r}^{r+1}\\&={\frac {1}{3}}{\left((r+1)^{3}-r^{3}\right)}+{\left(s^{4}+2s^{3}+2s^{2}+s+{\frac {1}{5}}\right)}{\left(r+1-r\right)}\\&={\frac {1}{3}}(3r^{2}+3r+1)+s^{4}+2s^{3}+2s^{2}+s+{\frac {1}{5}}\\&=r^{2}+r+s^{4}+2s^{3}+2s^{2}+s+{\frac {8}{15}}.\end{aligned}}}$

b) Die Ableitung der Volumenfunktion

${\displaystyle {}V(r,s)=r^{2}+r+s^{4}+2s^{3}+2s^{2}+s+{\frac {8}{15}}\,}$

ist

${\displaystyle (2r+1,4s^{3}+6s^{2}+4s+1).}$

Ein Minimum kann nur vorliegen, wenn die Ableitung ${\displaystyle {}0}$ ist. Wir zeigen, dass dies nur für ein ${\displaystyle {}(r,s)}$ der Fall sein kann. Wegen der ersten Komponente muss ${\displaystyle {}r=-{\frac {1}{2}}}$ sein. Wir zeigen, dass die zweite Komponente

${\displaystyle {}h(s)=4s^{3}+6s^{2}+4s+1\,}$

ebenfalls nur eine Nullstelle besitzt, indem wir zeigen, dass ${\displaystyle {}h}$ streng wachsend ist. Die Ableitung von ${\displaystyle {}h}$ ist

${\displaystyle {}h'(s)=12s^{2}+12s+4=12s(s+1)+4\,.}$

Diese Funktion ist für ${\displaystyle {}s\to \infty }$ und ${\displaystyle {}s\to -\infty }$ offenbar positiv, sie besitzt also genau ein Minimum, und zwar wegen

${\displaystyle {}h^{\prime \prime }(s)=24s+12\,}$

bei

${\displaystyle {}s=-{\frac {1}{2}}\,.}$

Der Wert des Minimums von ${\displaystyle {}h'}$ ist

${\displaystyle {}h'{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}=12{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}{\left(-{\frac {1}{2}}+1\right)}+4=-12\cdot {\frac {1}{4}}+4=-3+4=1>0\,.}$

Dies bedeutet, dass ${\displaystyle {}h'}$ stets positiv ist und somit ist ${\displaystyle {}h}$ streng wachsend. Da ferner ${\displaystyle {}h}$ ein Polynom vom Grad ${\displaystyle {}3}$ ist, also ${\displaystyle {}h(s)\to \infty }$ für ${\displaystyle {}s\to \infty }$ und ${\displaystyle {}h(s)\to -\infty }$ für ${\displaystyle {}s\to -\infty }$ gilt, besitzt ${\displaystyle {}h}$ genau eine Nullstelle. Insgesamt besitzt also ${\displaystyle {}V(r,s)}$ genau einen kritischen Punkt.

Wir müssen noch zeigen, dass in dem einzigen kritischen Punkt ein Minimum von ${\displaystyle {}V(r,s)}$ vorliegt. Die Hesse-Matrix zu ${\displaystyle {}V}$ ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&0\\0&12s^{2}+12s+4\end{pmatrix}}.}$

Diese Matrix ist für jedes ${\displaystyle {}s}$ nach der oben durchgeführten Berechnung positiv definit, also liegt im kritischen Punkt ein Minimum vor.