Es sei ${\displaystyle {}V}$ eine (nichtleere) Aussagenvariablenmenge und

${\displaystyle {}\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)}=\operatorname {Abb} \,{\left(V,\{0,1\}\right)}\,}$

die Menge aller Wahrheitsbelegungen auf ${\displaystyle {}V}$. In dieser Aufgabe untersuchen wir ${\displaystyle {}\operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)},\{0,1\}\right)}}$ und die Abbildung

${\displaystyle \Psi \colon L^{V}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)},\{0,1\}\right)},\,\alpha \longmapsto {\left(\lambda \mapsto I^{\lambda }(\alpha )\right)}.}$

Dabei spielen die beiden folgenden Teilmengen eine Rolle.

Es sei ${\displaystyle {}N\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)},\{0,1\}\right)}}$ die folgendermaßen festgelegte Teilmenge. Eine Abbildung ${\displaystyle {}\varphi \in \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)},\right)}\{0,1\}}$ gehört genau dann zu ${\displaystyle {}N}$, wenn es eine endliche Teilmenge ${\displaystyle {}W\subseteq V}$ derart gibt, dass ${\displaystyle {}\varphi \in \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(W\right)},\{0,1\}\right)}}$ ist (dies ist in Aufgabenteil 2 zu erläutern).

Es sei ${\displaystyle {}M\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)},\{0,1\}\right)}}$ die durch die folgenden Bedingungen rekursiv festgelegte Teilmenge.

a) Zu ${\displaystyle {}p\in V}$ gehört

${\displaystyle \operatorname {ev} _{p}\colon \operatorname {Bel} \,{\left(V\right)}\longrightarrow \{0,1\},\,\lambda \longmapsto \lambda (p),}$

zu ${\displaystyle {}M}$.

b) Wenn ${\displaystyle {}\varphi \in M}$ ist, so gehört auch ${\displaystyle {}\tau \circ \varphi }$ zu ${\displaystyle {}M}$, wobei ${\displaystyle {}\tau \colon \{0,1\}\rightarrow \{0,1\}}$ die Vertauschungsabbildung bezeichnet.

c) Wenn ${\displaystyle {}\varphi ,\theta \in M}$ sind, so gehören auch ${\displaystyle {}{\min {\left(\varphi ,\theta \right)}}}$ und ${\displaystyle {}{\max {\left(\varphi ,\theta \right)}}}$ zu ${\displaystyle {}M}$.

1. Ist ${\displaystyle {}\Psi }$ injektiv?
2. Es sei ${\displaystyle {}W\subseteq V}$ eine Teilmenge. Zeige, dass es eine natürliche surjektive Abbildung

   ${\displaystyle \operatorname {Bel} \,{\left(V\right)}\longrightarrow \operatorname {Bel} \,{\left(W\right)}}$

   und eine natürliche injektive Abbildung

   ${\displaystyle \Phi _{W}\colon \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(W\right)},\{0,1\}\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)},\{0,1\}\right)}}$

3. Zeige, dass die in (2) beschriebene Abbildung

   ${\displaystyle \Phi _{W}\colon \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(W\right)},\{0,1\}\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)},\{0,1\}\right)}}$

   die Evaluationen ${\displaystyle {}\operatorname {ev} _{p}}$, die Verknüpfung mit ${\displaystyle {}\tau }$ und die Minima und Maxima respektiert.

4. Man gebe bei ${\displaystyle {}V}$ unendlich ein ${\displaystyle {}\varphi \in \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)},\{0,1\}\right)}}$ an, das nicht zu ${\displaystyle {}N}$ gehört.
5. Es sei ${\displaystyle {}V}$ endlich. Zeige

   ${\displaystyle {}M=\operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)},\{0,1\}\right)}\,.}$

6. Zeige ${\displaystyle {}M=N}$.
7. Zeige, dass das Bild von ${\displaystyle {}\Psi }$ mit ${\displaystyle {}M}$ übereinstimmt.