Es sei ${\displaystyle {}\Gamma }$ derart, dass es eine Aussage ${\displaystyle {}\alpha \in L^{S}}$ gibt, für die sowohl ${\displaystyle {}\exists x\alpha }$ als auch ${\displaystyle {}\exists x\neg \alpha }$ zu ${\displaystyle {}\Gamma }$ gehört. Beispielsweise kann man

${\displaystyle {}\Gamma =\{\exists xx=c,\exists x\neg x=c\}\,}$

mit einer Konstanten ${\displaystyle {}c}$ nehmen. Eine solche Ausdrucksmenge ist widerspruchsfrei, da sie (über jeder Menge mit mindestens zwei Elementen) erfüllbar ist. Wenn man nur eine neue Variable ${\displaystyle {}z}$ zur Verfügung hat, so muss man die beiden Aussagen ${\displaystyle {}\exists x\alpha \rightarrow \alpha {\frac {z}{x}}}$ und ${\displaystyle {}\exists x\neg \alpha \rightarrow \neg \alpha {\frac {z}{x}}}$

hinzunehmen. Aus der neuen Ausdrucksmenge ${\displaystyle {}\Gamma '}$ würde dann sowohl ${\displaystyle {}\alpha {\frac {z}{x}}}$ als auch ${\displaystyle {}\neg \alpha {\frac {z}{x}}}$ ableitbar sein, und somit wäre ${\displaystyle {}\Gamma '}$ widersprüchlich.