Da die kanonische Projektion zu einer linearen Abbildung werden soll, muss die Addition durch

${\displaystyle {}[v]+[w]=[v+w]\,}$

und die Skalarmultiplikation durch

${\displaystyle {}\lambda [v]=[\lambda v]\,}$

gegeben sein. Insbesondere kann es also nur eine Vektorraumstruktur mit der gewünschten Eigenschaft geben, und wir müssen zeigen, dass durch diese Vorschriften wohldefinierte Operationen auf ${\displaystyle {}V/U}$ definiert sind, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten sind. D.h. wir haben für ${\displaystyle [v]=[v']}$ und ${\displaystyle [w]=[w']}$ zu zeigen, dass ${\displaystyle {}[v+w]=[v'+w']}$ ist. Nach Voraussetzung können wir ${\displaystyle v'=v+u}$ und ${\displaystyle w'=w+u'}$ mit ${\displaystyle {}u,u'\in U}$ schreiben. Damit ist

${\displaystyle {}v'+w'=v+w+u+u'\,}$

${\displaystyle {}u+u'\in U}$

${\displaystyle {}v+w}$

${\displaystyle {}v'=v+u}$ mit ${\displaystyle {}u\in U}$. Dann ist

${\displaystyle {}\lambda v'=\lambda (v+u)=\lambda v+\lambda u\,,}$

und das ist äquivalent zu ${\displaystyle {}\lambda v}$. Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf ${\displaystyle {}V/U}$ und der Surjektivität der Abbildung folgt, dass eine Vektorraumstruktur vorliegt und dass die Abbildung linear ist.