Es sei zunächst die Gesamtfamilie eine Basis von ${\displaystyle {}V}$. Da

${\displaystyle V\longrightarrow V/U}$

surjektiv ist, ist das Bild der Basis ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle {}V/U}$, und da die Vektoren ${\displaystyle {}u_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, auf ${\displaystyle {}0}$ abgebildet werden, ist ${\displaystyle {}[v_{j}]}$, ${\displaystyle {}j\in J}$, ein Erzeugendensystem des Restklassenraumes. Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei

${\displaystyle {}\sum _{j\in J}b_{j}[v_{j}]=0\,,}$

wobei die Koeffizienten nur für endlich viele Indizes ungleich ${\displaystyle {}0}$ sein können. Dies bedeutet zurückübersetzt nach ${\displaystyle {}V}$, dass

${\displaystyle {}\sum _{j\in J}b_{j}v_{j}=u\in U\,}$

gilt. Somit ist

${\displaystyle {}\sum _{j\in J}b_{j}v_{j}=\sum _{i\in I}a_{i}u_{i}\,}$

und aus der linearen Unabhängigkeit der Gesamtfamilie folgt

${\displaystyle {}b_{j}=0\,.}$

Sei nun umgekehrt vorausgesetzt, dass die ${\displaystyle {}[v_{j}]}$, ${\displaystyle {}j\in J}$, eine Basis des Restklassenraumes bilden. Sei ${\displaystyle {}v\in V}$. Dann ist

${\displaystyle {}[v]=\sum _{j\in J}b_{j}[v_{j}]\,}$

in ${\displaystyle {}V/U}$. Dies bedeutet zurückübersetzt nach ${\displaystyle {}V}$, dass

${\displaystyle v-\sum _{j\in J}b_{j}v_{j}}$

zu ${\displaystyle {}U}$ gehört. Damit gibt es eine Darstellung

${\displaystyle {}v=\sum _{i\in I}a_{i}u_{i}+\sum _{j\in J}b_{j}v_{j}\,}$

und die Vektorenfamilie ist ein Erzeugendensystem. Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei

${\displaystyle {}0=\sum _{i\in I}a_{i}u_{i}+\sum _{j\in J}b_{j}v_{j}\,.}$

Im Restklassenraum bedeutet dies

${\displaystyle {}[0]=\sum _{i\in I}a_{i}[u_{i}]+\sum _{j\in J}b_{j}[v_{j}]=\sum _{j\in J}b_{j}[v_{j}]\,}$

und wegen der linearen Unabhängigkeit folgt

${\displaystyle {}b_{j}=0\,}$

für alle ${\displaystyle {}j\in J}$. Somit reduziert sich die Ausgangsgleichung zu

${\displaystyle {}0=\sum _{i\in I}a_{i}u_{i}\,}$

und die lineare Unabhängigkeit der ${\displaystyle {}u_{i}}$ liefert

${\displaystyle {}a_{i}=0\,}$

${\displaystyle {}i\in I}$