Ohne Einschränkung sei ${\displaystyle {}Z=V({\mathfrak {q}})}$ ebenfalls irreduzibel und entspreche einem Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}\subseteq R}$ der Höhe ${\displaystyle {}s}$. Es sei ${\displaystyle {}W=V({\mathfrak {r}})}$ mit einem Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {r}}\subseteq R}$ der Höhe ${\displaystyle {}m}$, das minimal über ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}+{\mathfrak {q}}}$ ist. Wegen Fakt ist ${\displaystyle {}m\leq r+s}$ zu zeigen. In ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {r}}/{\mathfrak {q}}}$ ist ${\displaystyle {}{\mathfrak {r}}}$ minimal über

${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}=\operatorname {rad} {\left(f_{1},\ldots ,f_{r}\right)}\,.}$

Nach Fakt ist dort die Höhe von ${\displaystyle {}{\mathfrak {r}}}$ höchstens ${\displaystyle {}r}$. Zurückübersetzt nach ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {r}}}$ bedeutet dies

${\displaystyle {}\operatorname {ht} {\left({\mathfrak {r}}\right)}\leq r+s\,.}$