Für ${\displaystyle {}n=1}$ ist die Abbildung

${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3},}$

bijektiv (mit der Umkehrfunktion ${\displaystyle {}x\mapsto {\sqrt[{3}]{x}}}$). Für ein ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ betrachten wir die Abbildung

${\displaystyle \varphi _{n}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\longmapsto (x_{1}^{3},x_{2},\ldots ,x_{n}).}$

Dies ist eine polynomiale Abbildung, so dass das totale Differential durch die Jacobi-Matrix, also durch

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3x_{1}^{2}&0&\cdots &0\\0&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&1\end{pmatrix}}}$

gegeben ist. Für ${\displaystyle {}x_{1}=0}$ ist diese Matrix nicht invertierbar, da ihre Determinante ${\displaystyle {}0}$ ist, und die Abbildung ist für diese Punkte nicht regulär. Dennoch ist die Abbildung bijektiv, die Umkehrabbildung wird durch

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\longmapsto ({\sqrt[{3}]{x_{1}}},x_{2},\ldots ,x_{n})}$