Es sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge in einem topologischen Raum ${\displaystyle {}M}$. Man sagt, dass die Folge gegen ${\displaystyle {}x\in M}$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jeder offenen Umgebung ${\displaystyle {}U\subseteq M}$ von ${\displaystyle {}x}$ gibt es ein ${\displaystyle {}n_{0}\in \mathbb {N} }$ derart, dass für alle ${\displaystyle {}n\geq n_{0}}$ die Folgenglieder ${\displaystyle {}x_{n}}$ zu ${\displaystyle {}U}$ gehören.

In diesem Fall heißt ${\displaystyle {}x}$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

${\displaystyle {}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\,.}$

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.