Sei ${\displaystyle {}(X,{\mathcal {T}})}$ ein topologischer Raum und ${\displaystyle {}Y\subseteq X}$ eine Teilmenge. Folgende Vorschrift definiert eine Topologie ${\displaystyle {}{\mathcal {T}}_{Y}}$ auf ${\displaystyle {}Y}$: Für eine Teilmenge ${\displaystyle {}U\subseteq Y}$ gilt ${\displaystyle {}U\in {\mathcal {T}}_{Y}}$ genau dann, wenn es eine in ${\displaystyle {}X}$ offene Menge ${\displaystyle {}V\in {\mathcal {T}}}$ gibt, so dass ${\displaystyle {}V\cap Y=U}$ gilt. Es lässt sich leicht nachweisen, dass ${\displaystyle {}{\mathcal {T}}_{Y}}$ eine Topologie ist. Sie heißt Unterraumtopologie (oder induzierte Topologie ), und der topologische Raum ${\displaystyle {}(Y,{\mathcal {T}}_{Y})}$ heißt ein Unterraum von ${\displaystyle {}(X,{\mathcal {T}})}$.