Aufgrund der Voraussetzungen können wir

${\displaystyle {}a=br\,,}$

${\displaystyle {}c=ds\,}$

und

${\displaystyle {}{\frac {a}{b}}=t{\frac {c}{d}}\,}$

mit natürlichen Zahlen ${\displaystyle {}r,s,t}$ schreiben. Aufgrund der ersten und der dritten Zeile ist

${\displaystyle {}r={\frac {a}{b}}=t{\frac {c}{d}}\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}ad=brd=bd{\frac {tc}{d}}=tbc\,.}$

Also ist ${\displaystyle {}ad}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}bc}$. Für den Quotienten gilt

${\displaystyle {}{\frac {ad}{bc}}=t={\frac {\,\,{\frac {a}{b}}\,\,}{\,\,{\frac {c}{d}}\,\,}}\,.}$