Es seien ${\displaystyle {}2\times 2}$-Matrizen ${\displaystyle {}A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}B={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}}$ gegeben. Das Produkt ${\displaystyle {}A\cdot B}$ ergibt sich mit der üblichen Multiplikationsregel „Zeile x Spalte“, bei der man insgesamt ${\displaystyle {}8}$ Multiplikationen im Körper ${\displaystyle {}K}$ ausführen muss. Wir beschreiben, wie man diese Matrixmultiplikation mit nur ${\displaystyle {}7}$ Multiplikationen (aber mit mehr Additionen) durchführen kann. Wir setzen

${\displaystyle {}m_{1}={\left(a_{11}+a_{22}\right)}\cdot {\left(b_{11}+b_{22}\right)}\,,}$

${\displaystyle {}m_{2}={\left(a_{21}+a_{22}\right)}\cdot b_{11}\,,}$

${\displaystyle {}m_{3}=a_{11}\cdot {\left(b_{12}-b_{22}\right)}\,,}$

${\displaystyle {}m_{4}=a_{22}\cdot {\left(b_{21}-b_{11}\right)}\,,}$

${\displaystyle {}m_{5}={\left(a_{11}+a_{12}\right)}\cdot b_{22}\,,}$

${\displaystyle {}m_{6}={\left(a_{21}-a_{11}\right)}\cdot {\left(b_{11}+b_{12}\right)}\,,}$

${\displaystyle {}m_{7}={\left(a_{12}-a_{22}\right)}\cdot {\left(b_{21}+b_{22}\right)}\,.}$

Zeige, dass für die Koeffizienten der Produktmatrix

${\displaystyle {}AB=C={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{pmatrix}}\,}$

die Gleichungen

${\displaystyle {}c_{11}=m_{1}+m_{4}-m_{5}+m_{7}\,,}$

${\displaystyle {}c_{12}=m_{3}+m_{5}\,,}$

${\displaystyle {}c_{21}=m_{2}+m_{4}\,,}$

${\displaystyle {}c_{22}=m_{1}-m_{2}+m_{3}+m_{6}\,,}$