Folgerung (1) nach (2)

klar, da der Nullvektor ${\displaystyle 0_{X}\in X}$

Folgerung (2) nach (3) - Teil 1

Wir zeigen die Kontraposition. Annahme, dass die Menge ${\displaystyle \{\|T(x)\|_{Y}\ |\ x\in X\wedge \|x\|_{X}\leq 1\}}$ unbeschränkt ist. D.h. es gibt eine Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in (X\setminus \{\mathbb {0} _{X}\})^{\mathbb {N} }}$ mit dem Nullvektor ${\displaystyle \mathbb {0} _{X}\in X}$ mit

${\displaystyle \|T(x_{n})\|_{Y}\geq n\quad {\mbox{ und }}0<\|x_{n}\|_{X}\leq 1\}}$ .

Damit erzeugen wir eine Folge

${\displaystyle ({\widehat {x_{n}}})_{n\in \mathbb {N} }=\left({\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\in (X\setminus \{\mathbb {0} _{X}\})^{\mathbb {N} }}$

Damit erhält man auch die Unstetigkeit in ${\displaystyle \mathbb {0} _{X}\in X}$ mit:

${\displaystyle \|T({\widehat {x_{n}}})\|_{Y}={\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot \|T(x_{n})\|_{Y}=1}$ .

Folgerung (2) nach (3) - Teil 2

Auf der anderen Seite ist ${\displaystyle ({\widehat {x_{n}}})_{n\in \mathbb {N} }\in (X\setminus \{\mathbb {0} _{X}\}^{\mathbb {N} }}$ aber auch eine Nullfolge in ${\displaystyle X}$, denn:

${\displaystyle \left\|{\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot x_{n}\right\|_{X}={\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot \left\|x_{n}\right\|_{X}\leq {\frac {1}{n}}\cdot \|x_{n}\|_{X}\leq {\frac {1}{n}}\longrightarrow 0}$

Bei konvergiert ${\displaystyle ({\widehat {x_{n}}})_{n\in \mathbb {N} }\in (X\setminus \{\mathbb {0} _{X}\}^{\mathbb {N} }}$ gegen den Nullvektor ${\displaystyle \mathbb {0} _{X}}$ aus ${\displaystyle X}$. Bei einer stetigen linearen Abbildung in ${\displaystyle \mathbb {0} _{X}\in X}$ müsste damit auch ${\displaystyle T(\mathbb {0} _{X})=\mathbb {0} _{Y}}$ gelten und die Bildfolge ${\displaystyle T({\widehat {x_{n}}})}$ gegen den Nullvektor ${\displaystyle \mathbb {0} _{Y}\in Y}$ konvergieren. Es gilt aber ${\displaystyle \|T({\widehat {x_{n}}})\|_{Y}={\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot \|T(x_{n})\|_{Y}=1}$. Daher ist ${\displaystyle T}$ nicht stetig in ${\displaystyle \mathbb {0} _{X}}$.

Folgerung (3) nach (4) - Fall 1

Nach Voraussetzung gilt (3), d.h.: Es existiert ein ${\displaystyle M>0}$ mit ${\displaystyle \|T(x)\|_{Y}\leq M}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$ mit ${\displaystyle \|x\|_{X}\leq 1}$. Man wählt für das gesucht ${\displaystyle M>0}$ der Aussage (4) das durch Aussage (3) gegebene ${\displaystyle M>0}$ und betrachtet die Fallunterscheidung für ${\displaystyle x=0_{X}}$ und ${\displaystyle x\not =0_{X}}$:

• Fall 1: Für den Nullvektor ${\displaystyle 0_{X}\in X}$ in ${\displaystyle X}$ gilt die Behauptung (4), denn:

${\displaystyle \|T(0_{X})\|_{Y}=\|0_{Y}\|_{Y}=0=\|0_{X}\|_{X}=M\cdot \|0_{X}\|_{X}}$

Folgerung (3) nach (4) - Fall 2

• Fall 2: Sei nun ${\displaystyle x\not =0_{X}}$ und ${\displaystyle x\in X}$ beliebig gewählt. Dann gilt mit ${\displaystyle {\widehat {x}}:={\frac {x}{\|x\|_{X}}}}$, dass

${\displaystyle \|{\widehat {x}}\|_{X}=\left\|{\frac {x}{\|x\|_{X}}}\right\|_{X}={\frac {\|x\|_{X}}{\|x\|_{X}}}=1}$

Damit kann die Aussage (3) auf ${\displaystyle {\widehat {x}}:={\frac {x}{\|x\|_{X}}}}$ angewendet werden und man erhält:

${\displaystyle M\geq \|T({\widehat {x}})\|_{Y}=\left\|T\left({\frac {x}{\|x\|_{X}}}\right)\right\|_{Y}{\stackrel {T\,lin}{=}}\left\|{\frac {1}{\|x\|_{X}}}\cdot T(x)\right\|_{Y}{\stackrel {Norm\,hom.}{=}}\left|{\frac {1}{\|x\|_{X}}}\right|\cdot \|T(x)\|_{Y}}$

Insgesamt erhält man (3): ${\displaystyle M\geq \|T({\widehat {x}})\|_{Y}={\frac {1}{\|x\|_{X}}}\cdot \|T(x)\|_{Y}}$ bzw. ${\displaystyle \|T(x)\|_{Y}\leq M\cdot \|x\|_{X}}$

Folgerung (4) nach (1) - Teil 1

Nach Voraussetzung gelte (4), d.h. es existiert ein ${\displaystyle M>0}$ mit ${\displaystyle \|T(x)\|_{Y}\leq M\cdot \|x\|_{X}}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$. Ferner sei ${\displaystyle x_{0}\in X}$ beliebig gewählt. Ferner sein ein Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in X^{\mathbb {N} }}$ in ${\displaystyle X}$ gegeben, die gegen ${\displaystyle x_{0}\in X}$ konvergiert. Man muss nun zeigen, dass die Folge ${\displaystyle (T(x_{n}))_{n\in \mathbb {N} }\in Y^{\mathbb {N} }}$ gegen ${\displaystyle T(x_{0})\in Y}$ konvergiert.

Folgerung (4) nach (1) - Teil 2

Die Konvergenz der Folge ${\displaystyle (T(x_{n}))_{n\in \mathbb {N} }\in Y^{\mathbb {N} }}$ gegen ${\displaystyle T(x_{0})\in Y}$ wird wie folgt abgeschätzt:

${\displaystyle 0\leq \|T(x_{n})-T(x_{0})\|_{Y}{\stackrel {T\,lin.}{=}}\|T(x_{n}-x_{0})\|_{Y}{\stackrel {(4)}{\leq }}M\cdot \|x_{n}-x_{0}\|_{X}\longrightarrow 0}$,

da ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in X^{\mathbb {N} }}$ in ${\displaystyle X}$ gegen ${\displaystyle x_{0}\in X}$ konvergiert und mit ${\displaystyle \|x_{n}-x_{0}\|_{X}\longrightarrow 0}$ durch Abschätzung auch ${\displaystyle \|T(x_{n})-T(x_{0})\|_{Y}\longrightarrow 0}$ konvergiert.

Alternative Aussage

Alternativ zu (3) kann man die Aussage auch wie folgt formulieren

(3') Es existiert ein ${\displaystyle M>0}$ mit ${\displaystyle \|T\|_{\mathcal {L}}:=\sup\{\|T(x)\|_{Y}\,:\,\|x\|_{X}=1\}\leq M}$

Dies ist äquivalent zu

${\displaystyle \|T\|_{\mathcal {L}}=\sup _{v\in V\setminus \{0\}}{\frac {\|T(v)\|_{W}}{\|v\|_{V}}}=\sup _{\|v\|_{V}=1}\|T(v)\|_{W}=\sup _{\|v\|_{V}\leq 1}\|T(v)\|_{W}.}$

Definition: Operatornorm

Seien ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ normierte Vektorräume über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }$ und ${\displaystyle {\mathcal {L}}(V,W):=\{T\colon V\to W\mid T\ {\text{linear}}\}}$ die Menge der linearen Abbildung von ${\displaystyle V}$ nach ${\displaystyle W}$. sei ${\displaystyle T\colon V\rightarrow W}$ ein linearer Operator. Dann ist die Operatornorm

${\displaystyle \|{\cdot }\|_{\mathcal {L}}\;\colon \;{\mathcal {L}}(V,W)\to \mathbb {R} _{0}^{+}\cup \{\infty \}}$

bezüglich der Vektornormen ${\displaystyle \|\cdot \|_{V}}$ und ${\displaystyle \|\cdot \|_{W}}$ durch

${\displaystyle \|T\|_{\mathcal {L}}:=\inf \left\{c\geq 0\mid \forall v\in V\colon \|T(v)\|_{W}\leq c\,\|v\|_{V}\right\}}$

definiert.

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