Aufgrund des Folgenkriteriums müssen wir zeigen, dass wenn (2) erfüllt ist, dass dann der Grenzwert stets der Funktionswert des Grenzwertes ist. Sei also ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge in ${\displaystyle {}T}$, die gegen ${\displaystyle {}x}$ konvergiert. Die Bildfolge ${\displaystyle {}f(x_{n})}$ konvergiert nach Voraussetzung, sagen wir gegen ${\displaystyle {}b}$. Wir müssen ${\displaystyle {}b=f(x)}$ zeigen. Wir betrachten dann die Folge

${\displaystyle x_{1},x,x_{2},x,x_{3},x,x_{4},\ldots .}$

Diese Folge konvergiert offenbar gegen ${\displaystyle {}x}$, deshalb muss nach Voraussetzung auch die Bildfolge konvergieren, sagen wir gegen ${\displaystyle {}c}$. Jede Teilfolge davon muss ebenfalls gegen ${\displaystyle {}c}$ konvergieren. Die Teilfolge, die durch die ungeraden Folgenglieder gegeben ist, ist ${\displaystyle {}f(x_{n})}$, und diese konvergiert gegen ${\displaystyle {}b}$. Also ist ${\displaystyle {}b=c}$. Die Teilfolge, die durch die geraden Folgenglieder gegeben ist, ist die konstante Folge ${\displaystyle {}f(x)}$, die gegen ${\displaystyle {}f(x)}$ konvergiert. Also ist

${\displaystyle {}f(x)=b}$