Der ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$-Vektorraum ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ sei zusätzlich mit der komponentenweisen Multiplikation versehen. Bestimme, welche der folgenden Teilmengen unter dieser Multiplikation abgeschlossen sind.

1. Die Punktmenge ${\displaystyle {}\{\left(0,\,0\right),\left(0,\,1\right),\left(1,\,0\right),\left(1,\,1\right)\}}$.
2. Die Gerade

   ${\displaystyle {\left\{\left(x,\,y\right)\mid y=3x\right\}}.}$

3. Das Achsenkreuz

   ${\displaystyle {\left\{\left(x,\,y\right)\mid x=0{\text{ oder }}y=0\right\}}.}$

4. Die Hyperbel

   ${\displaystyle {\left\{\left(x,\,y\right)\mid xy=1\right\}}.}$

5. Die Parabel

   ${\displaystyle {\left\{\left(x,\,y\right)\mid y=x^{2}\right\}}.}$