Es sei ${\displaystyle {}\lambda }$ ein Eigenwert von ${\displaystyle {}\varphi }$ mit

${\displaystyle {}\vert {\lambda }\vert =\rho (\varphi )\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}v\in V}$ ein Eigenvektor zu ${\displaystyle {}\lambda }$. Dann ist

${\displaystyle {}\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert =\Vert {\lambda v}\Vert =\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq \Vert {\varphi }\Vert _{\rm {max}}\cdot \Vert {v}\Vert \,}$

und Division durch ${\displaystyle {}\Vert {v}\Vert }$ liefert die Behauptung.