Für einen beliebigen Vektor ${\displaystyle {}v\in V}$ ist Wegen

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\mid \mid \!Mv\!\mid \mid _{\rm {sum}}&=\sum _{i=1}^{n}\vert {(Mv)_{i}}\vert \\&=\sum _{i=1}^{n}\vert {\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}}\vert \\&\leq \sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\vert {v_{j}}\vert \right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}\vert {v_{j}}\vert {\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}\vert {v_{j}}\vert \\&=\mid \mid \!v\!\mid \mid _{\rm {sum}}.\end{aligned}}}$

Iterative Anwendung dieser Beobachtung zeigt, dass Fakt  (2) erfüllt ist.