a) Die Sinusfunktion hat an den angegebenen Stellen den Wert ${\displaystyle {}0}$, daher ist

${\displaystyle {}P=x(x+\pi )(x-\pi )=x(x^{2}-\pi ^{2})=x^{3}-\pi ^{2}x\,.}$

b) Es ist

${\displaystyle f(0)=0,\,f'(0)=1,\,f(\pi )=0{\text{ und }}f'(\pi )=-1.}$

Das gesuchte Polynom

${\displaystyle {}Q(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,}$

besitzt die Ableitung

${\displaystyle {}Q'(x)=3ax^{2}+2bx+c\,.}$

Somit müssen die Koeffizienten von ${\displaystyle {}Q}$ die Bedingungen ${\displaystyle {}d=0}$,

${\displaystyle {}Q'(0)=c=1\,,}$

${\displaystyle {}a\pi ^{3}+b\pi ^{2}+\pi =0\,,}$

also

${\displaystyle {}a\pi ^{2}+b\pi +1=0\,}$

und

${\displaystyle {}3a\pi ^{2}+2b\pi +1=-1\,}$

erfüllen. Die beiden zuletzt genannten Gleichungen liefern

${\displaystyle {}b\pi +2=1\,,}$

also

${\displaystyle {}b=-{\frac {1}{\pi }}\,}$

und damit ist

${\displaystyle {}a=0\,.}$

Das gesuchte Polynom ist also

${\displaystyle {}Q=-{\frac {1}{\pi }}x^{2}+x\,.}$

c) Das gesuchte Polynom ${\displaystyle {}R}$ ist das Taylor-Polynom der Ordnung ${\displaystyle {}3}$ zu ${\displaystyle {}f}$ an der Stelle ${\displaystyle {}\pi /2}$. Die Ableitungen an dieser Stelle sind

${\displaystyle f{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=1,\,f'{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=0,\,f^{\prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=-1{\text{ und }}f^{\prime \prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=0.}$

Das Taylor-Polynom der Ordnung ${\displaystyle {}3}$ ist daher

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{2}.}$