Aufgrund von Fakt  (3) ist ${\displaystyle {}\cos \left(x+\pi /2\right)=-\sin x}$ und damit

${\displaystyle {}\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)=-\sin \left(-{\frac {\pi }{4}}\right)=-\cos \left(-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\,.}$

Diese Überkreuzung wiederholt sich mit der Periode ${\displaystyle {}\pi }$. Wegen

${\displaystyle {}\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\,}$

ist der Wert an den Überkreuzungsstellen abwechselnd gleich ${\displaystyle {}\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

Von ${\displaystyle {}{\frac {\pi }{4}}}$ bis ${\displaystyle {}{\frac {5\pi }{4}}}$ verläuft der Sinus oberhalb des Kosinus. Der eingeschlossene Flächeninhalt ist somit

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{\frac {\pi }{4}}^{\frac {5\pi }{4}}\sin x-\cos x\,dx&=\left(-\cos x-\sin x\right)|_{\frac {\pi }{4}}^{\frac {5\pi }{4}}\\&=-\cos \left({\frac {5\pi }{4}}\right)-\sin \left({\frac {5\pi }{4}}\right)+\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&=4{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\&=2{\sqrt {2}}.\end{aligned}}}$