${\displaystyle {}(1)\Rightarrow (2)}$. Dies folgt aus Fakt.
${\displaystyle {}(2)\Rightarrow (3)}$. Nehmen wir an, dass ${\displaystyle {}P}$ und ${\displaystyle {}P'}$ einen gemeinsamen nichttrivialen Teiler in ${\displaystyle {}K[X]}$ besitzen. Dies ist dann auch in ${\displaystyle {}L[X]}$ der Fall. Dies bedeutet wiederum, dass ein Linearfaktor von ${\displaystyle {}P}$ auch ein Teiler von ${\displaystyle {}P'}$ ist. Daher besitzen ${\displaystyle {}P}$ und ${\displaystyle {}P'}$ eine gemeinsame Nullstelle und somit besitzt ${\displaystyle {}P}$ eine mehrfache Nullstelle im Widerspruch zur Voraussetzung.
${\displaystyle {}(3)\Rightarrow (4)}$. Dies folgt aus Fakt.
${\displaystyle {}(4)\Rightarrow (1)}$. Sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine Körpererweiterung, so dass ${\displaystyle {}P\in L[X]}$ in Linearfaktoren zerfällt. Nach Voraussetzung kann man ${\displaystyle {}1}$ in ${\displaystyle {}K[X]}$ als Linearkombination von ${\displaystyle {}P}$ und ${\displaystyle {}P'}$ darstellen. Diese Eigenschaft überträgt sich direkt auf ${\displaystyle {}L[X]}$. Wenn ${\displaystyle {}P}$ in ${\displaystyle {}L}$ eine mehrfache Nullstelle hätte, so wäre diese Nullstelle auch eine Nullstelle der Ableitung. Das kann aber wegen der Darstellbarkeit der ${\displaystyle {}1}$ nicht sein.