Für ${\displaystyle {}n=3}$ ist das chromatische Polynom nach Beispiel gleich

${\displaystyle {}X(X-1)(X-2)=(X-1)(X^{2}-2X)=(X-1)((X-1)^{2}-1)=(X-1)^{3}-(X-1)\,,}$

was den Induktionsanfang sichert. Sei nun ${\displaystyle {}G}$ ein Rundgang mit ${\displaystyle {}n\geq 4}$ und sei die Aussage für kleinere Rundgänge bereits bekannt. Wir verwenden Fakt  (1) mit einer beliebigen Kante. Hierbei ist ${\displaystyle {}G\setminus \{e\}}$ ein linearer Graph mit ${\displaystyle {}n}$ Knoten und ${\displaystyle {}G/e}$ ist ein Rundgang mit ${\displaystyle {}n-1}$ Knoten, auf den wir die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Somit ist unter Verwendung von Aufgabe das chromatische Polynom des Rundganges mit ${\displaystyle {}n}$ Knoten gleich

${\displaystyle {}{\begin{aligned}X(X-1)^{n-1}-{\left((X-1)^{n-1}+(-1)^{n-1}(X-1)\right)}&=X(X-1)^{n-1}-(X-1)^{n-1}+(-1)^{n}(X-1)\\&={\left(X-1\right)}(X-1)^{n-1}+(-1)^{n}(X-1)\\&=(X-1)^{n}+(-1)^{n}(X-1).\end{aligned}}}$