Es sei ${\displaystyle {}G}$ ein vollständiger Graph mit ${\displaystyle {}n}$ Knotenpunkten. Dann ist das chromatische Polynom gleich

${\displaystyle X(X-1)(X-2)\cdots (X-n+1).}$

Bei ${\displaystyle {}k\leq n-1}$ Farben gibt es keine zulässige Färbung des vollständigen Graphen. Bei ${\displaystyle {}k\geq n-1}$ sind nur die injektiven Abbildungen

${\displaystyle f\colon V\longrightarrow \{1,\ldots ,k\}}$

zulässige Färbungen. Davon gibt es nach Fakt ${\displaystyle {}k(k-1)(k-2)\cdots (k-n+1)}$ Stück.