Wir beweisen im nicht kommutativen Fall je nur eine Hälfte.

1. Es ist ${\displaystyle {}a0=a(0+0)=a0+a0}$. Durch beidseitiges Abziehen von ${\displaystyle {}a0}$ ergibt sich die Behauptung.

2. ${\displaystyle {}(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0\,}$

   nach Teil (1). Daher ist ${\displaystyle {}(-a)b}$ das (eindeutig bestimmte) Negative von ${\displaystyle {}ab}$.

3. Nach (2) ist ${\displaystyle {}(-a)(-b)=(-(-a))b}$ und wegen ${\displaystyle {}-(-a)=a}$ (dies gilt in jeder Gruppe) folgt die Behauptung.
4. Dies folgt auch aus dem bisher Bewiesenen.
5. Dies folgt aus einer einfachen Doppelinduktion.