Es sei ${\displaystyle {}c=\int _{a}^{b}f(x)dx}$. Es gibt eine Folge von unteren Treppenfunktionen ${\displaystyle {}u_{n}}$ derart, dass die zugehörige Folge der Treppenintegrale gegen ${\displaystyle {}c}$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass dies auch für die Treppenintegrale zu den ${\displaystyle {}s_{n}}$ gilt. Sei ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ vorgegeben. Aufgrund der zuerst erwähnten Konvergenz gibt es zu ${\displaystyle {}{\frac {\epsilon }{2}}}$ ein ${\displaystyle {}k}$ derart, dass für alle ${\displaystyle {}n\geq k}$ die Abschätzung

${\displaystyle {}c-\int _{a}^{b}u_{n}(x)dx\leq {\frac {\epsilon }{2}}\,}$

gilt. Wir vergleichen die Treppenintegrale zu ${\displaystyle {}s_{n}}$ mit dem Treppenintegral zu ${\displaystyle {}u_{k}}$. Es sei ${\displaystyle {}m}$ die Anzahl der Unterteilungspunkte von ${\displaystyle {}u_{k}}$ und es sei ${\displaystyle {}d\in \mathbb {R} _{+}}$ eine absolute Schranke für ${\displaystyle {}f}$. Insbesondere ist

${\displaystyle {}u_{k}\leq d\,}$

${\displaystyle {}s_{n}\geq -d\,.}$

Wir wählen ${\displaystyle {}n_{0}}$ so, dass

${\displaystyle {}{\frac {b-a}{n_{0}}}md\leq {\frac {\epsilon }{4}}\,}$

ist. Sei ${\displaystyle {}n\geq n_{0}}$ fixiert. Von den ${\displaystyle {}n}$ Teilintervallen gibt es maximal ${\displaystyle {}m}$ Stück, in denen ein Unterteilungspunkt zu ${\displaystyle {}u_{k}}$ liegt. Es sei ${\displaystyle {}J\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$ die Indexmenge dieser Teilintervalle. Auf einem Intervall ${\displaystyle {}I_{j}}$ mit ${\displaystyle {}j\not \in J}$ ist ${\displaystyle {}u_{k}}$ konstant und es gilt dort

${\displaystyle {}u_{k}\leq s_{n}\leq f\,}$

und entsprechend

${\displaystyle {}\int _{I_{j}}u_{k}(x)dx\leq \int _{I_{j}}s_{n}(x)dx\leq \int _{I_{j}}f(x)dx\,.}$

Auf einem Intervall ${\displaystyle {}I_{j}}$ mit ${\displaystyle {}j\in J}$ ist

${\displaystyle {}\int _{I_{j}}u_{k}(x)dx\leq d{\frac {b-a}{n}}\,}$

und

${\displaystyle {}\int _{I_{j}}s_{n}(x)dx\geq -d{\frac {b-a}{n}}\,.}$

Insgesamt ergibt sich

${\displaystyle {}{\begin{aligned}c-\int _{a}^{b}s_{n}(x)dx&=c-\sum _{j=1}^{n}\int _{I_{j}}s_{n}(x)dx\\&=c-\sum _{j\not \in J}\int _{I_{j}}s_{n}(x)dx-\sum _{j\in J}\int _{I_{j}}s_{n}(x)dx\\&\leq c-\sum _{j\not \in J}\int _{I_{j}}u_{k}(x)dx-\sum _{j\in J}\int _{I_{j}}s_{n}(x)dx\\&=c-\int _{a}^{b}u_{k}(x)dx+\sum _{j\in J}\int _{I_{j}}u_{k}(x)dx-\sum _{j\in J}\int _{I_{j}}s_{n}(x)dx\\&\leq {\frac {\epsilon }{2}}+dm{\frac {b-a}{n}}+dm{\frac {b-a}{n}}\\&\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{4}}+{\frac {\epsilon }{4}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}}$