Es sei

${\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine Riemann-integrierbare Funktion. Zu ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ sei

${\displaystyle s_{n}\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} }$

diejenige untere Treppenfunktion zu ${\displaystyle {}f}$ zur äquidistanten Unterteilung in ${\displaystyle {}n}$ gleichlange Intervalle, die auf dem Teilintervall

${\displaystyle I_{j}=[a+{\frac {(j-1)(b-a)}{n}},a+{\frac {j(b-a)}{n}}[,\,j=1,\ldots ,n,}$

(für ${\displaystyle {}j=n}$ sei das Intervall rechtsseitig abgeschlossen) das Infimum von ${\displaystyle {}f(x)}$, ${\displaystyle {}x\in I_{j}}$,

${\displaystyle {}s_{n}}$

${\displaystyle {}\int _{a}^{b}f(x)dx}$