Aufgrund von Fakt existiert das Integral. Mit der Integralfunktion

${\displaystyle {}G(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,}$

gilt die Beziehung

${\displaystyle {}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=G(b)=G(b)-G(a)\,.}$

Aufgrund von Fakt ist ${\displaystyle {}G}$ differenzierbar mit

${\displaystyle {}G'(x)=f(x)\,,}$

d.h. ${\displaystyle {}G}$ ist eine Stammfunktion von ${\displaystyle {}f}$. Wegen Fakt ist ${\displaystyle {}F(x)=G(x)+c}$. Daher ist

${\displaystyle {}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=G(b)-G(a)=F(b)-c-F(a)+c=F(b)-F(a)\,.}$