Die erste Aussage ist klar, sei also ${\displaystyle {}p}$ ungerade. Nach Fakt ist die Einheitengruppe zyklisch der geraden Ordnung ${\displaystyle {}p-1}$. Identifiziert man ${\displaystyle {}({\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times },1,\cdot )}$ mit ${\displaystyle {}(\mathbb {Z} /(p-1),0,+)}$, so entspricht ${\displaystyle {}\,-1\,}$ dem Element ${\displaystyle {}{\frac {p-1}{2}}}$, und ${\displaystyle {}-1}$ besitzt genau dann eine Quadratwurzel, wenn ${\displaystyle {}{\frac {p-1}{2}}}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p-1)}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}2}$ ist. Dies ist aber genau dann der Fall, wenn ${\displaystyle {}{\frac {p-1}{2}}}$ selbst gerade ist, was zu ${\displaystyle {}p=1\mod 4}$ äquivalent ist.