Es sei ${\displaystyle {}S}$ ein kommutativer Ring mit ${\displaystyle {}2\neq 0}$ und ${\displaystyle {}a\in S}$. Zeige, dass die Gruppe ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)\cong \{1,-1\}}$ auf der quadratischen Erweiterung

${\displaystyle {}R:=S[X]/(X^{2}-a)\,}$

als Gruppe von ${\displaystyle {}S}$-Algebrahomomorphismen operiert, indem ${\displaystyle {}-1}$ durch ${\displaystyle {}X\mapsto -X}$ wirkt. Bestimme den Fixring