Die harmonische Reihe ist die Reihe

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}.}$

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+\ldots .}$

Diese Reihe divergiert: Für die ${\displaystyle {}2^{n}}$ Zahlen ${\displaystyle {}k=2^{n}+1,\ldots ,2^{n+1}}$ ist

${\displaystyle {}\sum _{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{k}}\geq \sum _{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{2^{n+1}}}=2^{n}{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {1}{2}}\,.}$

Daher ist

${\displaystyle {}\sum _{k=1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{k}}=1+\sum _{i=0}^{n}\left(\sum _{k=2^{i}+1}^{2^{i+1}}{\frac {1}{k}}\right)\geq 1+(n+1){\frac {1}{2}}\,.}$

Damit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt und kann nach Fakt nicht konvergent sein.