Wir führen Induktion über den Grad von ${\displaystyle {}h_{1}}$. Bei ${\displaystyle {}h_{1}=0}$ gehört natürlich ${\displaystyle {}h_{1}}$ zu ${\displaystyle {}I_{G}}$. Für ${\displaystyle {}h_{1}\neq 0}$ und ${\displaystyle {}\operatorname {grad} \,(h_{i})=0}$ ist ${\displaystyle {}g_{1}\in (g_{2},\ldots ,g_{m})}$. Sei also ${\displaystyle {}\operatorname {grad} \,(h_{1})\geq 1}$ und die Aussage für kleineren Grad bewiesen. Es sei ${\displaystyle {}g_{1}\notin (g_{2},\ldots ,g_{m})}$ vorausgesetzt und es sei ${\displaystyle {}\sigma \in G}$ eine Pseudoreflektion. Dann ist

${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{m}g_{i}\cdot (h_{i}\sigma )={\left(\sum _{i=1}^{m}g_{i}h_{i}\right)}\sigma =0\sigma =0\,.}$

Nach Fakt kann man

${\displaystyle {}h_{i}\sigma =h_{i}+L_{\sigma }\cdot {\widetilde {h}}_{i}\,}$

schreiben, wobei ${\displaystyle {}L_{\sigma }}$ eine beschreibende Linearform des Fixraumes zu ${\displaystyle {}\sigma }$ ist und ${\displaystyle {}{\widetilde {h}}_{i}}$ einen kleineren Grad als ${\displaystyle {}h_{i}}$ besitzt. Wir schreiben die obige Gleichung als

${\displaystyle {}0=\sum _{i=1}^{m}g_{i}{\left(h_{i}+L_{\sigma }{\widetilde {h}}_{i}\right)}=L_{\sigma }\sum _{i=1}^{m}g_{i}{\widetilde {h}}_{i}\,.}$

Daher ist die Summe rechts gleich ${\displaystyle {}0}$ und nach Induktionsvoraussetzung ist ${\displaystyle {}{\widetilde {h}}_{1}\in I_{G}}$, also auch ${\displaystyle {}h_{1}\sigma -h_{1}={\widetilde {h}}_{1}L_{\sigma }\in I_{G}}$.

Sei nun ${\displaystyle {}\tau =\sigma _{1}\cdots \sigma _{k}\in G}$ ein Produkt von Pseudoreflektionen. Dann ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}h_{1}\tau -h_{1}&=\sum _{i=1}^{k}{\left(h_{1}\sigma _{i}\cdots \sigma _{k}-h_{1}\sigma _{i+1}\cdots \sigma _{k}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k}{\left(h_{1}\sigma _{i}-h_{1}\right)}{\left(\sigma _{i+1}\cdots \sigma _{k}\right)}.\end{aligned}}}$

Da ${\displaystyle {}h_{1}\sigma _{i}-h_{1}}$ zu ${\displaystyle {}I_{G}}$ gehört und ${\displaystyle {}I_{G}}$ unter ${\displaystyle {}G}$ invariant ist, gehört auch ${\displaystyle {}h_{1}\tau -h_{1}}$ zu ${\displaystyle {}I_{G}}$. Mit dem Reynolds-Operator ${\displaystyle {}\rho }$ ist

${\displaystyle {}\rho (h_{1})-h_{1}={\left({\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\tau \in G}h_{1}\tau \right)}-h_{1}={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\tau \in G}{\left(h_{1}\tau -h_{1}\right)}\,.}$

Dies gehört zu ${\displaystyle {}I_{G}}$ und wegen ${\displaystyle {}\rho (h_{1})\in I_{G}}$ ist auch ${\displaystyle {}h_{1}\in I_{G}}$.