Es ist

${\displaystyle {}x_{n}-a\leq y_{n}-a\leq z_{n}-a\,.}$

Bei ${\displaystyle {}y_{n}-a\geq 0}$ ist somit

${\displaystyle {}\vert {y_{n}-a}\vert \leq \vert {z_{n}-a}\vert \,}$

und bei ${\displaystyle {}y_{n}-a\leq 0}$ ist

${\displaystyle {}\vert {y_{n}-a}\vert \leq \vert {x_{n}-a}\vert \,.}$

Daher ist stets

${\displaystyle {}\vert {y_{n}-a}\vert \leq {\max {\left(\vert {x_{n}-a}\vert ,\vert {z_{n}-a}\vert \right)}}\,.}$

Für ein vorgegebenes ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen ${\displaystyle {}a}$ natürliche Zahlen ${\displaystyle {}n_{1}}$ und ${\displaystyle {}n_{2}}$ derart, dass

${\displaystyle {}\vert {x_{n}-a}\vert \leq \epsilon \,}$

für ${\displaystyle {}n\geq n_{1}}$ und

${\displaystyle {}\vert {z_{n}-a}\vert \leq \epsilon \,}$

für ${\displaystyle {}n\geq n_{2}}$ gilt. Für ${\displaystyle {}n\geq n_{0}={\max {\left(n_{1},n_{2}\right)}}}$ gilt daher

${\displaystyle {}\vert {y_{n}-a}\vert \leq \epsilon \,.}$

Dies bedeutet die Konvergenz von ${\displaystyle {}y_{n}}$ gegen ${\displaystyle {}a}$.