Wir wollen bestimmen, ob die Reihe

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}}$

konvergiert oder nicht. Dazu ziehen wir das Majorantenkriterium und Beispiel heran, wo wir die Konvergenz von ${\displaystyle {}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}}$ gezeigt haben. Für ${\displaystyle {}k\geq 2}$ ist

${\displaystyle {\frac {1}{k^{2}}}\leq {\frac {1}{k(k-1)}}.}$

Daher konvergiert ${\displaystyle {}\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}}$ und somit auch ${\displaystyle {}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}}$. Über den Wert der Summe ist damit noch nichts gesagt. Mit deutlich aufwändigeren Methoden kann man zeigen, dass diese Summe gleich ${\displaystyle {}{\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ ist.