Wir wollen die Reihe

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}}$

berechnen, wozu wir zuerst eine Formel für die ${\displaystyle {}n}$-te Partialsumme angeben. Es ist

${\displaystyle {}s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{n}{\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)}=1-{\frac {1}{n+1}}={\frac {n}{n+1}}\,.}$

Diese Folge konvergiert gegen ${\displaystyle {}1}$, so dass die Reihe konvergiert und ihre Summe gleich ${\displaystyle {}1}$ ist.