Wir betrachten die rationale Funktion

${\displaystyle {}{\frac {X^{3}-X+5}{X^{4}+X^{2}}}={\frac {X^{3}-X+5}{X^{2}{\left(X^{2}+1\right)}}}\,,}$

wo die Faktorzerlegung des Nennerpolynoms sofort ersichtlich ist. Der Ansatz

${\displaystyle {}{\frac {X^{3}-X+5}{X^{2}{\left(X^{2}+1\right)}}}={\frac {a}{X}}+{\frac {b}{X^{2}}}+{\frac {cX+d}{X^{2}+1}}\,}$

führt durch Multiplikation mit dem Nennerpolynom auf

${\displaystyle {}{\begin{aligned}X^{3}-X+5&=aX{\left(X^{2}+1\right)}+b{\left(X^{2}+1\right)}+(cX+d)X^{2}\\&=aX^{3}+aX+bX^{2}+b+cX^{3}+dX^{2}\\&=(a+c)X^{3}+(b+d)X^{2}+aX+b.\end{aligned}}}$

Koeffizientenvergleich führt auf das inhomogene lineare Gleichungssystem

${\displaystyle a+c=1{\text{ und }}b+d=0{\text{ und }}a=-1{\text{ und }}b=5}$

mit der Lösung

${\displaystyle b=5,\,a=-1,\,d=-5,\,c=2.}$

Insgesamt ist die Partialbruchzerlegung also gleich

${\displaystyle {\frac {X^{3}-X+5}{X^{2}(X^{2}+1)}}=-{\frac {1}{X}}+{\frac {5}{X^{2}}}+{\frac {2X-5}{X^{2}+1}}.}$