(1). Es genügt, die Aussagen für wachsende Funktionen zu beweisen. Wenn ${\displaystyle {}f}$ wachsend ist, und ${\displaystyle {}x\in I}$ ist, so gilt für den Differenzenquotienten

${\displaystyle {}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\geq 0\,}$

für jedes ${\displaystyle {}h}$ mit ${\displaystyle {}x+h\in I}$. Diese Abschätzung gilt dann auch für den Grenzwert, und dieser ist ${\displaystyle {}f'(x)}$.
Sei umgekehrt die Ableitung ${\displaystyle {}\geq 0}$.    Nehmen wir an, dass es zwei Punkte ${\displaystyle {}x<x'}$ in ${\displaystyle {}I}$ mit ${\displaystyle {}f(x)>f(x')}$ gibt. Aufgrund des Mittelwertsatzes gibt es dann ein ${\displaystyle {}c}$ mit ${\displaystyle {}x<c<x'}$ mit

${\displaystyle {}f'(c)={\frac {f(x')-f(x)}{x'-x}}<0\,}$

(2). Es sei nun ${\displaystyle {}f'(x)>0}$ mit nur endlich vielen Ausnahmen.  Angenommen es wäre ${\displaystyle {}f(x)=f(x')}$ für zwei Punkte ${\displaystyle {}x<x'}$. Da ${\displaystyle {}f}$ nach dem ersten Teil wachsend ist, ist ${\displaystyle {}f}$ auf dem Intervall ${\displaystyle {}[x,x']}$ konstant. Somit ist ${\displaystyle {}f'=0}$ auf diesem gesamten Intervall, ein Widerspruch dazu, dass ${\displaystyle {}f'}$ nur endlich viele Nullstellen besitzt.