Wir beschränken uns auf den Fall ${\displaystyle {}b>1}$ und ${\displaystyle {}x,x'>0}$. Es sei ${\displaystyle {}p_{n}}$ eine rationale streng wachsende positive Folge, die gegen ${\displaystyle {}x}$ konvergiert, und es sei ${\displaystyle {}q_{n}}$ eine rationale streng wachsende positive Folge, die gegen ${\displaystyle {}x'}$ konvergiert. Dann konvergiert nach Fakt  (2) die Folge ${\displaystyle {}p_{n}q_{n}}$ gegen ${\displaystyle {}xx'}$. Somit konvergiert auch ${\displaystyle {}b^{p_{n}q_{n}}}$ gegen ${\displaystyle {}b^{xx'}}$. Wegen

${\displaystyle {}b^{p_{n}q_{n}}={\left(b^{p_{n}}\right)}^{q_{n}}\,}$

für rationale Argumente ist also noch zu zeigen, dass ${\displaystyle {}{\left(b^{p_{n}}\right)}^{q_{n}}}$ gegen ${\displaystyle {}{\left(b^{x}\right)}^{x'}}$ konvergiert. Sei dazu ein positives ${\displaystyle {}\epsilon }$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz von ${\displaystyle {}{\left(b^{x}\right)}^{q_{n}}}$ gegen ${\displaystyle {}{\left(b^{x}\right)}^{x'}}$ gibt es ein ${\displaystyle {}n_{0}}$ derart, dass für alle ${\displaystyle {}n\geq n_{0}}$ die Abschätzung

${\displaystyle {}\vert {{\left(b^{x}\right)}^{x'}-{\left(b^{x}\right)}^{q_{n}}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,}$

gilt. Wegen der Stetigkeit von ${\displaystyle {}z\mapsto z^{q_{n}}}$, die für jedes ${\displaystyle {}q_{n}}$ auf der Stetigkeit des Potenzierens und des Wurzelziehens beruht, und wegen der Konvergenz von ${\displaystyle {}b^{p_{m}}}$ gegen ${\displaystyle {}b^{x}}$, gibt es wegen der Folgenstetigkeit zu jedem ${\displaystyle {}n}$ ein ${\displaystyle {}m_{0}}$ derart, dass für alle ${\displaystyle {}m\geq m_{0}}$ die Abschätzung

${\displaystyle {}\vert {{\left(b^{x}\right)}^{q_{n}}-{\left(b^{p_{m}}\right)}^{q_{n}}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,}$

gilt. Insgesamt ist also für ${\displaystyle {}n\geq {\max {\left(n_{0},m_{0}\right)}}}$ (dabei gehöre ${\displaystyle {}m_{0}}$ zu ${\displaystyle {}n_{0}}$) wegen der Monotonie

${\displaystyle {}{\left(b^{p_{m_{0}}}\right)}^{q_{n_{0}}}\leq {\left(b^{p_{n}}\right)}^{q_{n}}\leq {\left(b^{x}\right)}^{x'}\,}$

und somit

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {{\left(b^{x}\right)}^{x'}-{\left(b^{p_{n}}\right)}^{q_{n}}}\vert &\leq \vert {{\left(b^{x}\right)}^{x'}-{\left(b^{x}\right)}^{q_{n}}}\vert +\vert {{\left(b^{x}\right)}^{q_{n}}-{\left(b^{p_{n}}\right)}^{q_{n}}}\vert \\&\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}}$