Nach Definition ist

${\displaystyle {}a^{x}=\exp \left(x\,\ln a\right)\,.}$

Die Ableitung nach ${\displaystyle {}x}$ ist aufgrund von Fakt unter Verwendung der Kettenregel gleich

${\displaystyle {}{\left(a^{x}\right)}'={\left(\exp \left(x\,\ln a\right)\right)}'={\left(\ln a\right)}\exp '(x\,\ln a)={\left(\ln a\right)}\exp \left(x\,\ln a\right)={\left(\ln a\right)}a^{x}\,.}$