Es sei

${\displaystyle {}P=c_{n}X^{n}+\cdots +c_{2}X^{2}+c_{1}X+c_{0}\,}$

mit ${\displaystyle {}c_{i}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}}$, ${\displaystyle {}a_{i},b_{i}\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle {}b_{i}>0}$ und ${\displaystyle {}c_{n}\neq 0}$. Wir multiplizieren dieses Polynom mit ${\displaystyle {}c_{n}^{-1}}$ und können somit annehmen, dass ${\displaystyle {}P}$ normiert ist. Wir setzen

${\displaystyle {}b=b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}\,.}$

Aus

${\displaystyle {}P(z)=z^{n}+c_{n-1}z^{n-1}+\cdots +c_{2}z^{2}+c_{1}z+c_{0}=0\,}$

ergibt sich durch Multiplikation mit ${\displaystyle {}b^{n}}$ direkt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}0&=b^{n}{\left(z^{n}+c_{n-1}z^{n-1}+\cdots +c_{2}z^{2}+c_{1}z+c_{0}\right)}\\&=b^{n}z^{n}+b^{n}c_{n-1}z^{n-1}+\cdots +b^{n}c_{2}z^{2}+b^{n}c_{1}z+b^{n}c_{0}\\&=b^{n}z^{n}+bc_{n-1}b^{n-1}z^{n-1}+\cdots +b^{n-2}c_{2}b^{2}z^{2}+b^{n-1}c_{1}bz+b^{n}c_{0}\\&=(bz)^{n}+bc_{n-1}(bz)^{n-1}+\cdots +b^{n-2}c_{2}(bz)^{2}+b^{n-1}c_{1}(bz)+b^{n}c_{0}.\end{aligned}}}$

Dies bedeutet, dass ${\displaystyle {}bz}$ eine Nullstelle des Polynoms

${\displaystyle {}Q=X^{n}+bc_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b^{n-2}c_{2}X^{2}+b^{n-1}c_{1}X+b^{n}c_{0}\,}$

ist. Dieses Polynom ist normiert und es besitzt wegen

${\displaystyle {}b^{n-i}c_{i}={\left(b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}\right)}^{n-i}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

ganzzahlige Koeffizienten. Somit ist

${\displaystyle {}z={\frac {bz}{b}}\,}$

${\displaystyle {}b\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle {}bz}$