Die Implikation (1) ${\displaystyle {}\Rightarrow }$ (2) ist unmittelbar klar, da ganze Zahlen rational sind und man somit ${\displaystyle {}Q=P}$ nehmen kann.

Sei (2) erfüllt und sei

${\displaystyle {}Q=s_{n}X^{n}+s_{n-1}X^{n-1}+\cdots +s_{2}X^{2}+s_{1}X+s_{0}\,}$

mit ${\displaystyle {}s_{i}\in \mathbb {Q} }$, ${\displaystyle {}s_{n}\neq 0}$ und ${\displaystyle {}Q(z)=0}$. Wegen ${\displaystyle {}s_{n}\neq 0}$ ist auch ${\displaystyle {}s_{n}^{-1}}$ eine rationale Zahl. Wir multiplizieren ${\displaystyle {}Q}$ mit ${\displaystyle {}s_{n}^{-1}}$ und erhalten

${\displaystyle {}{\begin{aligned}R&:=s_{n}^{-1}Q\\&=s_{n}^{-1}{\left(s_{n}X^{n}+s_{n-1}X^{n-1}+\cdots +s_{2}X^{2}+s_{1}X+s_{0}\right)}\\&=X^{n}+s_{n}^{-1}\cdot s_{n-1}X^{n-1}+\cdots +s_{n}^{-1}\cdot s_{2}X^{2}+s_{n}^{-1}\cdot s_{1}X+s_{n}^{-1}\cdot s_{0}.\end{aligned}}}$

Dies ist ein normiertes Polynom, die Koeffizienten sind nach wie vor rational und es ist auch

${\displaystyle {}R(z)=(s_{n}^{-1}Q)(z)=s_{n}^{-1}\cdot Q(z)=0\,.}$

Sei nun (3) erfüllt, und

${\displaystyle {}R=X^{n}+t_{n-1}X^{n-1}+\cdots +t_{2}X^{2}+t_{1}X+t_{0}\,}$

mit ${\displaystyle {}t_{i}\in \mathbb {Q} }$ und ${\displaystyle {}R(z)=0}$. Es ist

${\displaystyle {}t_{i}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

mit ${\displaystyle {}a_{i},b_{i}\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle {}b_{i}\neq 0}$. Wir setzen

${\displaystyle {}{\begin{aligned}P&=b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}R\\&=b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}{\left(X^{n}+{\frac {a_{n-1}}{b_{n-1}}}X^{n-1}+\cdots +{\frac {a_{2}}{b_{2}}}X^{2}+{\frac {a_{1}}{b_{1}}}X+{\frac {a_{0}}{b_{0}}}\right)}\\&=b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}X^{n}+b_{0}b_{1}\cdots b_{n-2}a_{n-1}b_{n}X^{n-1}+\cdots +b_{0}b_{1}a_{2}b_{3}\cdots b_{n-1}X^{2}+b_{0}a_{1}b_{2}\cdots b_{n-1}X+a_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}.\end{aligned}}}$

Dieses Polynom hat ganzzahlige Koeffizienten, ist nicht das Nullpolynom und es ist nach wie vor

${\displaystyle {}P(z)=0\,.}$