Es seien

${\displaystyle {}x={\frac {a}{b}}={\frac {a'}{b'}}\,}$

und

${\displaystyle {}y={\frac {c}{d}}={\frac {c'}{d'}}\,}$

die rationalen Zahlen, die verglichen werden sollen, wobei alle Nenner positiv seien. Dann ist

${\displaystyle {}ab'=a'b\,}$

und

${\displaystyle {}cd'=c'd\,.}$

Aus

${\displaystyle {}ad\geq bc\,}$

ergibt sich dann gemäß Fakt  (6) durch Multiplikation mit der positiven ganzen Zahl ${\displaystyle {}b'd'}$

${\displaystyle {}adb'd'\geq bcb'd'\,.}$

Dies schreiben wir als

${\displaystyle {}a'dbd'\geq bc'b'd\,,}$

woraus sich durch Kürzen mit der positiven ganzen Zahl ${\displaystyle {}db}$ die Abschätzung

${\displaystyle {}a'd'\geq b'c'\,}$

ergibt, die

${\displaystyle {}{\frac {a'}{b'}}\geq {\frac {c'}{d'}}\,}$

bedeutet. Wegen der Symmetrie der Situation gilt auch die Umkehrung. Die Beziehung ${\displaystyle {}\geq }$ ist also unabhängig von dem gewählten Bruchrepräsentanten.