Quadrik in zwei Variablen/Rationale Parametrisierung/Fakt

Sei ${}C=V(F)$ eine Quadrik in zwei Variablen, also

{}F=\alpha X^{2}+\beta XY+\gamma Y^{2}+\delta X+\epsilon Y+\eta \,

(mit ${}\alpha$ , ${}\beta$ , ${}\gamma$ nicht alle ${}0$ ). Es sei vorausgesetzt, dass es mindestens einen Punkt auf der Quadrik gibt.

Dann gibt es Polynome ${}P_{1},P_{2},Q\in K[T]$ , ${}Q\neq 0$ , derart, dass das Bild der rationalen Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\supseteq D(Q)\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,{\text{ mit }}t\longmapsto \left({\frac {P_{1}(t)}{Q(t)}},{\frac {P_{2}(t)}{Q(t)}}\right)$

in ${}C$ liegt.

Besitzt ${}C$ zumindest zwei Punkte, so ist die Abbildung nicht konstant und bis auf endlich viele Ausnahmen injektiv.

Ist ${}C$ zusätzlich irreduzibel, so ist die Abbildung bis auf endlich viele Ausnahmen surjektiv. Insbesondere ist eine irreduzible Quadrik mit mindestens zwei Punkten eine rationale Kurve.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen

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