${\displaystyle {}x^{2}=(1+x-1)^{2}=1+2(x-1)+(x-1)^{2}\,,}$

daher ist dies die Taylorreihe zur Quadratfunktion im Entwicklungspunkt ${\displaystyle {}1}$.

${\displaystyle {}y=1+2(x-1)+(x-1)^{2}\,}$

ist

${\displaystyle {}y-1=2(x-1)+(x-1)^{2}=2z+z^{2}\,,}$

wobei wir zur Vereinfachung ${\displaystyle {}z=x-1}$ gesetzt haben. Die Bedingung

${\displaystyle {}g(f(x))=x\,}$

lautet somit ausgeschrieben

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(2z+z^{2})^{k}&=b_{0}+b_{1}(2z+z^{2})+b_{2}(2z+z^{2})^{2}+b_{3}(2z+z^{2})^{3}+b_{4}(2z+z^{2})^{4}+\ldots \\&=x\\&=1+z.\end{aligned}}}$

Daraus können die ${\displaystyle {}b_{k}}$ sukzessive durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden, da in der unendlichen Summe nur endlich viele Terme die Koeffizienten bestimmen. Zunächst ergibt sich

${\displaystyle {}b_{0}=1\,.}$

Aus (Koeffizient vor ${\displaystyle {}z}$)

${\displaystyle {}2b_{1}=1\,}$

ergibt sich

${\displaystyle {}b_{2}={\frac {1}{2}}\,.}$

Aus (Koeffizient vor ${\displaystyle {}z^{2}}$)

${\displaystyle {}b_{1}+4b_{2}=0\,}$

ergibt sich

${\displaystyle {}b_{2}=-{\frac {1}{8}}\,.}$

Aus (Koeffizient vor ${\displaystyle {}z^{3}}$)

${\displaystyle {}4b_{2}+8b_{3}=0\,}$

ergibt sich

${\displaystyle {}b_{3}={\frac {1}{16}}\,.}$

Aus (Koeffizient vor ${\displaystyle {}z^{4}}$)

${\displaystyle {}b_{2}+6b_{3}+16b_{4}=0\,}$

ergibt sich

${\displaystyle {}b_{4}=-{\frac {1}{64}}\,.}$