${\displaystyle {}f'(x)=2x-3\,}$

mit der einzigen Nullstelle bei

${\displaystyle {}x={\frac {3}{2}}\,.}$

Dort liegt das globale isolierte Minimum mit dem Wert

${\displaystyle {}f\left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {9}{4}}-3\left({\frac {3}{2}}\right)+2=-{\frac {1}{4}}\,}$

vor.

${\displaystyle {}f(0)=2>1\,}$

und

${\displaystyle {}f(1)=0<1\,,}$

deshalb muss es nach dem Zwischenwertsatz eine Stelle geben, wo ${\displaystyle {}f}$ den Wert ${\displaystyle {}1}$ annimmt. Es ist

${\displaystyle {}f\left({\frac {1}{2}}\right)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}-3\cdot {\frac {1}{2}}+2={\frac {3}{4}}<1\,.}$

Deshalb liegt die gesuchte Stelle in ${\displaystyle {}[0,{\frac {1}{2}}]}$. Es ist

${\displaystyle {}f\left({\frac {1}{4}}\right)=\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}-3\cdot {\frac {1}{4}}+2={\frac {21}{16}}>1\,.}$

Deshalb liegt die gesuchte Stelle in ${\displaystyle {}[{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}]}$. Es ist

${\displaystyle {}f\left({\frac {3}{8}}\right)=\left({\frac {3}{8}}\right)^{2}-3\cdot {\frac {3}{8}}+2={\frac {65}{64}}>1\,.}$

Deshalb liegt die gesuchte Stelle in ${\displaystyle {}[{\frac {3}{8}},{\frac {1}{2}}]}$.

${\displaystyle {}x^{2}-5x+1=0\,,}$

was auf

${\displaystyle {}x_{1},x_{2}={\frac {5\pm {\sqrt {25-4}}}{2}}={\frac {5\pm {\sqrt {21}}}{2}}\,}$

für die ${\displaystyle {}x}$-Koordinate der beiden Schnittpunkte führt. Im Folgenden sei ${\displaystyle {}x_{1}}$ der kleinere Wert. Der in Frage stehende Flächeninhalt ergibt sich, indem man von dem Flächeninhalt des durch ${\displaystyle {}g}$, der ${\displaystyle {}x}$-Achse und die vertikalen Achsen durch ${\displaystyle {}x_{1}}$ und ${\displaystyle {}x_{2}}$ begrenzten Vierecks ${\displaystyle {}V}$ die Flächeninhalte unterhalb von ${\displaystyle {}f}$ zwischen ${\displaystyle {}x_{1}}$ und ${\displaystyle {}1}$ und zwischen ${\displaystyle {}2}$ und ${\displaystyle {}x_{2}}$ abzieht und den Flächeninhalt der Fläche oberhalb von ${\displaystyle {}f}$ zwischen ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}2}$ dazuaddiert. Der Flächeninhalt des Vierecks ist

${\displaystyle {}(x_{2}-x_{1}){\frac {g(x_{1})+g(x_{2})}{2}}={\frac {5+{\sqrt {21}}-5+{\sqrt {21}}}{2}}\cdot {\frac {12}{2}}=6{\sqrt {21}}\,.}$

Eine Stammfunktion zu ${\displaystyle {}f}$ ist

${\displaystyle {}F(x)={\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+2x\,.}$

die relevanten Werte sind

${\displaystyle {}F(1)={\frac {1}{3}}-{\frac {3}{2}}+2={\frac {5}{6}}\,,}$

${\displaystyle {}F(2)={\frac {8}{3}}-6+4={\frac {2}{3}}\,,}$

${\displaystyle {}{\begin{aligned}F(x_{1})&={\frac {1}{3}}\left({\frac {5-{\sqrt {21}}}{2}}\right)^{3}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {5-{\sqrt {21}}}{2}}\right)^{2}+2\left({\frac {5-{\sqrt {21}}}{2}}\right)\\&={\frac {1}{3}}\left({\frac {125-75{\sqrt {21}}+15\cdot 21-21{\sqrt {21}}}{8}}\right)-{\frac {3}{2}}\left({\frac {25-10{\sqrt {21}}+21}{4}}\right)+5-{\sqrt {21}}\\&={\frac {1}{3}}\left({\frac {440-96{\sqrt {21}}}{8}}\right)-{\frac {3}{2}}\left({\frac {46-10{\sqrt {21}}}{4}}\right)+5-{\sqrt {21}}\\&={\frac {1}{3}}{\left(55-12{\sqrt {21}}\right)}-3\left({\frac {23-5{\sqrt {21}}}{4}}\right)+5-{\sqrt {21}}\\&={\frac {55}{3}}-{\frac {69}{4}}+5+{\left(-4+{\frac {15}{4}}-1\right)}{\sqrt {21}}\\&={\frac {73}{12}}-{\frac {5}{4}}{\sqrt {21}},\,\end{aligned}}}$

${\displaystyle {}{\begin{aligned}F(x_{2})&={\frac {1}{3}}\left({\frac {5+{\sqrt {21}}}{2}}\right)^{3}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {5+{\sqrt {21}}}{2}}\right)^{2}+2\left({\frac {5+{\sqrt {21}}}{2}}\right)\\&={\frac {1}{3}}\left({\frac {125+75{\sqrt {21}}+15\cdot 21+21{\sqrt {21}}}{8}}\right)-{\frac {3}{2}}\left({\frac {25+10{\sqrt {21}}+21}{4}}\right)+5+{\sqrt {21}}\\&={\frac {1}{3}}\left({\frac {440+96{\sqrt {21}}}{8}}\right)-{\frac {3}{2}}\left({\frac {46+10{\sqrt {21}}}{4}}\right)+5+{\sqrt {21}}\\&={\frac {1}{3}}{\left(55+12{\sqrt {21}}\right)}-3\left({\frac {23+5{\sqrt {21}}}{4}}\right)+5+{\sqrt {21}}\\&={\frac {55}{3}}-{\frac {69}{4}}+5+{\left(4-{\frac {15}{4}}+1\right)}{\sqrt {21}}\\&={\frac {73}{12}}+{\frac {5}{4}}{\sqrt {21}}.\,\end{aligned}}}$

Der gesuchte Flächeninhalt ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}A&=6{\sqrt {21}}-(F(1)-F(x_{1}))+\vert {F(2)-F(1)}\vert -(F(x_{2})-F(2))\\&=6{\sqrt {21}}-F(1)+F(x_{1})+F(1)-F(2)-F(x_{2})+F(2)\\&=6{\sqrt {21}}+F(x_{1})-F(x_{2})\\&=6{\sqrt {21}}+{\frac {73}{12}}-{\frac {5}{4}}{\sqrt {21}}-{\frac {73}{12}}-{\frac {5}{4}}{\sqrt {21}}\\&={\frac {7}{2}}{\sqrt {21}}.\end{aligned}}}$