Im ersten Fall ist nach Fakt ${\displaystyle {}R\cong \mathbb {Z} [X]/{\left(X^{2}-D\right)}}$ und daher nach Fakt

${\displaystyle {}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }=RdX/d{\left(X^{2}-D\right)}=RdX/2XdX\cong R/2X=R/2{\sqrt {D}}\,.}$

Im zweiten Fall ist

${\displaystyle {}R\cong \mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{2}-Y-{\frac {D-1}{4}}\right)}\,}$

mit ${\displaystyle {}Y={\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}}$. Somit ist

${\displaystyle {}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }=RdY/d{\left(Y^{2}-Y-{\frac {D-1}{4}}\right)}=RdY/(2Y-1)dY=RdY/{\sqrt {D}}dY\cong R/{\sqrt {D}}\,.}$