Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Wir betrachten den Ringhomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon K[Y]\longrightarrow K[X],\,Y\longmapsto X^{n},}$

zu ${\displaystyle {}n\geq 2}$, der der Abbildung

${\displaystyle K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n}=y}$

entspricht. Zu einem maximalen Ideal ${\displaystyle {}(X-a)}$ ist

${\displaystyle {}\varphi ^{-1}(X-a)=(Y-a^{n})\,,}$

und oberhalb von ${\displaystyle {}(Y-b)}$ liegen die maximalen Ideale ${\displaystyle {}(X-a)}$ mit

${\displaystyle {}a^{n}=b\,.}$

Dies ist die idealtheoretische Interpretation der ${\displaystyle {}n}$-ten Potenzierung. Insbesondere liegen die Ringhomomomorphismen

${\displaystyle K[Y]_{(Y-b)}\longrightarrow K[X]_{(X-a)},\,Y\longmapsto X^{n}}$

zwischen diskreten Bewertungsringen vor. Dabei wird die Ortsuniformisierende ${\displaystyle {}(Y-b)}$ auf

${\displaystyle X^{n}-b=X^{n}-a^{n}=(X-a)(X^{n-1}+X^{n-2}a^{1}+\cdots +Xa^{n-2}+a^{n-1})\,}$

abgebildet. In dieser Produktdarstellung ist der linke Faktor die Ortsuniformisierende des zweiten Bewertungsringes. Der zweite Faktor wird, wenn man für ${\displaystyle {}X}$ die Zahl ${\displaystyle {}a}$ einsetzt, zu ${\displaystyle {}na^{n-1}}$. Wenn ${\displaystyle {}n}$ und ${\displaystyle {}a}$ beide Einheiten in ${\displaystyle {}K}$ sind, so ist dieser Faktor eine Einheit in ${\displaystyle {}K[X]_{(X-a)}}$ und daher ist die Verzweigungsordnung gleich ${\displaystyle {}1}$, es liegt also keine Verzweigung vor. Wenn hingegen ${\displaystyle {}n}$ keine Einheit ist, wenn also die Charakteristik von ${\displaystyle {}K}$ ein Teiler von ${\displaystyle {}n}$ ist, so liegt Verzweigung vor. Wenn ${\displaystyle {}n=p}$ die positive Charakteristik ist, so ist ${\displaystyle {}X^{p}-a^{p}}$ und die Verzweigungsordnung ist in jedem Punkt gleich ${\displaystyle {}p}$. Wenn ${\displaystyle {}a=0}$ ist, so ist die Verzweigungsordnung direkt gleich ${\displaystyle {}n}$ im Nullpunkt.