Wir müssen zeigen, dass die Reihe für jedes ${\displaystyle {}z\in \mathbb {C} }$, ${\displaystyle {}\vert {z}\vert <r}$, absolut konvergiert. Es ist

${\displaystyle {}\sum _{n\in \mathbb {N} }\vert {b_{n}z^{n}}\vert =\sum _{n\in \mathbb {N} }\vert {b_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}\,.}$

Für die Reihenglieder gilt

${\displaystyle {}\vert {b_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}\leq \vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}\,.}$

Da die Reihe ${\displaystyle {}\sum _{n\in \mathbb {N} }\vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}}$ nach Voraussetzung konvergiert, liegt eine konvergente Majorante vor, so dass auch die Reihe ${\displaystyle {}\sum _{n\in \mathbb {N} }b_{n}z^{n}}$