Es sei ${\displaystyle {}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}$ eine Potenzreihe mit ${\displaystyle {}c_{n}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}=0}$. Wir betrachten die Folge ${\displaystyle {}{\frac {\vert {c_{n+1}}\vert }{\vert {c_{n}}\vert }}}$. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Wenn ${\displaystyle {}{\frac {\vert {c_{n+1}}\vert }{\vert {c_{n}}\vert }}}$ gegen ${\displaystyle {}0}$ konvergiert, so hat die Potenzreihe unendlichen Konvergenzradius.

b) Wenn ${\displaystyle {}{\frac {\vert {c_{n+1}}\vert }{\vert {c_{n}}\vert }}}$ gegen ${\displaystyle {}a>0}$ konvergiert, so hat die Potenzreihe den Konvergenzradius ${\displaystyle {}{\frac {1}{a}}}$.

c) Wenn ${\displaystyle {}{\frac {\vert {c_{n+1}}\vert }{\vert {c_{n}}\vert }}}$ bestimmt gegen ${\displaystyle {}+\infty }$ divergiert, so hat die Potenzreihe den Konvergenzradius

${\displaystyle {}0}$